##### 集合划分 - 集合划分 - **集合划分**指的是将一个[[集合]] $S$ 分解为若干互不相交且非空的子集构成一个[[集合族|子集族]] $\mathcal{A}=\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}=\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$ , 并且成员的并集等于原集合或者说[[集合覆盖|覆盖]]原集合. 例如[[商集]]是通过等价类对集合的划分. [[贝尔数]]计算集合所有可能的划分, [[斯特林数]]在给定子集数目下求解集合划分 - 互斥性, $A_i\cap A_j=\emptyset$ - 完备性, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i=S$ - 非空性, $A_i\neq\emptyset$ >[!example]- 集合划分 >- 对于集合 $S = \{1, 2, 3\}$, 其可能的划分有以下几种 > - $\{\{1, 2, 3\}\}$, 所有元素都在一个子集 > - $\{\{1\}, \{2, 3\}\}$ > - $\{\{2\}, \{1, 3\}\}$ > - $\{\{3\}, \{1, 2\}\}$ > - $\{\{1\}, \{2\}, \{3\}\}$, 每个元素都单独成一组 >- 所以集合 $S$ 有 $5$ 种不同的划分