##### 集合序列极限 - 集合序列极限 - **集合序列极限**指[[集合序列]]的[[序列极限]], 是当下标 $n$ 趋于无穷大时, 集合序列 $\{A_n\}$ 趋向的某个特定集合 $L$ , 是描述一列集合收敛性质的一种方式, 这意味着从某个阶段开始, 所有 $A_n$​ 中的包含情况与 $L$ 完全一致 - 对于集合序列 $\{A_n\}$, 如果对于任意元素 $x$ 都存在某个下标 $N$, 使得当 $n>N$ 时, 元素 $x$ 要么总是属于所有 $A_n$​, 要么总是不属于所有 $A_n$​, 且这一性质与 $x$ 是否属于极限集合 $L$ 一致, 则称集合序列 $A_n​$ 点态收敛到集合 $L$, 记作 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=L$ - 集合序列[[上下极限]]提供了一种不依赖于单个元素的描述方式, 适用于描述整个集合序列的行为. $\displaystyle \lim_{n\to\infty} A_n = \limsup_{n\to\infty} A_n = \liminf_{n\to\infty} A_n$ - 单调集合序列的极限就比较简单, 它必然收敛, 对于递减集合序列有 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$ 即所有集合的交集, 对于递增集合序列有 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ 即所有集合的并集 >[!example]- 集合序列极限 >- $\displaystyle A_n=[0,\frac{1}{n}]$ > - $[0,1],[0,\frac{1}{2}],[0,\frac{1}{3}],\dots$ > - $\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n=\{0\}$