##### 集合族 - 集合族 - **集合族**是指以集合为元素的[[集合]], 也称索引族或集合系, 在很多情况下指的是一个全集的子集族, 例如幂集就是一个子集族, 并且其他子集族都是幂集子集. 设 $U$ 是一个全集, 集合族 $\mathcal{A}$ 是全集 $U$ 的子集的一个集合, 记为 $\mathcal{A} = \{A_i\}_{i\in I}$, $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(U)$, 其中, $I$ 是索引集合, 表示集合族中的每个集合 $A_i$​ 由索引 $i$ 标识, 索引集合通常是[[自然数]], 则有 $\mathcal{A} = \{ A_n \}_{n\in\mathbb{N}}$ 等价于[[集合序列]]. 集合族可以进行各种集合运算, 可定义[[包含序]] - 记作 $\mathcal{A} = \{ A_i \mid A_i \subseteq U, i \in I \}=\{A_i\}_{i\in I}$ - 集合族运算 - [[交集]], 集合族中元素的交集 - 记作 $\displaystyle\bigcap_{i\in I} A_i = \{ x\mid \forall i\in I\,(x\in A_i)\}$ - [[并集]], 集合族中元素的并集 - 记作 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} A_i = \{ x\mid \exists i\in I\,(x\in A_i)\}$ - [[不交并]], 标记元素的来源的并集, 即不交并中的每个元素是一个有序对 $(a,i)$, 其中 $a \in A_i$, $i \in I$. 另一个意义指集合划分的并 - 记作 $\displaystyle\bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} (A_i \times \{i\})$ - 集合族示例 - [[幂集]], 是一个集合的所有子集组成的集合族 - 记作 $\mathcal{P}(A)$ 或 $2^A$ - [[集合覆盖]], 集合族元素的并集包含另一个集合 - 满足 $\displaystyle \bigcup_{i \in I} A_i \supseteq S$ - [[集合划分]], 子集族元素的并集等于原集合, 并且是若干互不相交的 - 满足 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^nA_i=S$, $A_i\cap A_j=\emptyset$ - [[拓扑]], 描述空间中点的邻域或附近的集合族 - 满足 $\emptyset,S\in \mathcal{T}$, $\displaystyle\bigcup_{i\in I}T_i\in \mathcal{T}$, $\displaystyle\bigcap^n_{i=1}T_i\in \mathcal{T}$ - [[σ-代数]], 可以被测量或讨论的良好性质的集合族 - 满足 $X\in \mathcal{A}$, $\overline{B}∈\mathcal{A}$, $\displaystyle\bigcup^\infty_{i=1}B_i\in \mathcal{A}$