##### 集合论体系 - 集合论体系 - **集合论**是研究集合的[[集合论基础|数学理论]], 包含集合, 关系, 映射等最基本的数学概念. 在大多数形式化的现代数学中, 都是在集合论的语言下谈论各种数学对象. 集合论, 命题逻辑与谓词逻辑共同构成了数学的公理化基础. 以未定义的集合与元素等术语来形式化地建构数学对象. **集合论体系**的发展经历了从朴素集合论到公理化集合论的过程, 两者在研究集合的性质和结构时采用了不同的方法, 目前主要为[[策梅洛-弗兰克尔集合论]] - 朴素集合论是集合论的早期形式, 由康托尔提出. 在这个体系中, 康托尔从抽象原则出发, 使用一个非常简练的概括公理完成集合论的定义: 满足某条性质的个体放在一起组成集合. 在这个定义中存在某种逻辑[[悖论]]的隐患, 其中一个是罗素悖论. 朴素集合论允许构造 “所有不包含自身的集合的集合”, 即 $R$ 是由所有不包含自身的集合所组成的集合 $R=\{X\mid X\notin X\}$, 这会导致矛盾, 如果 $R \in R$, 那么根据集合的定义, $R$ 不应该属于自己, 即 $R \notin R$, 如果 $R \notin R$, 那么按照定义, 它应该包含自身, 即 $R \in R$. 因此, 为了消除这种逻辑隐患, 产生了公理集合论体系. 公理集合论属于数理逻辑范畴 - 公理化集合论是集合论透过建立谓词逻辑的严谨重整, 以解决朴素集合论中出现的悖论, 目前存在数个公理集合论. 其中最著名的是策梅洛-弗兰克尔集合论, 即 Zermelo-Fraenkel 集合论, 简称 ZF, 如果包括选择公理, 这套系统被称为 ZFC