##### 高斯消元法 - 高斯消元法 - **高斯消元法**是指利用[[初等变换|初等行变换]]将[[线性方程组矩阵记号|增广矩阵]]化为[[阶梯形矩阵|简化行阶梯形]], 然后通过回代求解[[线性方程组]], 其核心思想是逐步消元, 将方程组转化为一个易于求解的等价形式, 改变了约束的表达方式没有改变约束本身 >[!example]- 高斯消元法 >- 线性方程组 $\left\{\begin{matrix}x_1-2x_2+x_3=0 \\ 2x_2-8x_3=8 \\ 5x_1-5x_3=10 \end{matrix}\right.$ >- 增广矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{bmatrix}$ >- 初等变换 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{bmatrix}\underrightarrow{r_3- 5r_1}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{bmatrix}$ >- 初等变换 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{bmatrix}\underrightarrow{\frac{1}{2}r_2}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{bmatrix}$ >- 初等变换 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{bmatrix}\underrightarrow{r_3- 10r_2}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 30 & -30 \end{bmatrix}$ >- 初等变换 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 30 & -30 \end{bmatrix}\underrightarrow{\frac{1}{30}r_3}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ >- 初等变换 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}\underrightarrow{}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ >- 解集 $\left\{\begin{matrix}x_1=1 \\ x_2=0 \\ x_3=-1 \end{matrix}\right.$