##### 黎曼和 - 黎曼和 - **黎曼和**是定义[[积分|黎曼积分]]的基础, 通过[[实数]]的[[确界]]和[[集合划分|划分]]从上下一致逼近, 从而获得函数在该区间上的累积量. 设 $f(x)$ 是定义在闭区间 $[a, b]$ 上的有界函数, 将闭区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 个子区间, 划分 $P$ 通常表示为 $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ , 其中 $x_0 = a$, $x_n = b$, $x_i\in[a,b]$, 每个子区间的宽度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$, 最大宽度为 $\lVert P\rVert=\max(x_1-x_0,x_2-x_1,...,x_{i-1}-x_{i-2},x_{i}-x_{i-1})$ - 上黎曼和是在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 中选择函数值的最大值 $M_i$​ (上界), 然后计算这些值的和 $\displaystyle U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i$ , 上黎曼和可以被视为在每个子区间内用矩形高度的最大值形成的矩形面积的总和, 这提供了函数在该区间上面积一个上界 - 下黎曼和是在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 中选择函数值的最大值 $m_i$​ (下界), 然后计算这些值的和 $\displaystyle L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$ , 下黎曼和可以被视为在每个子区间内用矩形高度的最小值形成的矩形面积的总和, 这提供了函数在该区间上面积一个下界 - 上黎曼积分是指在分割 $P$ 的极限下, 所得到的上和的极限 $\displaystyle\overline{\int_a^b} f(x) {\rm d}x = \lim_{||P|| \to 0} U(f, P)$ - 下黎曼积分是指在分割 $P$ 的极限下, 所得到的下和的极限 $\displaystyle\underline{\int_a^b} f(x) {\rm d}x = \lim_{||P|| \to 0} L(f, P)$ - 如果函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上是黎曼可积的, 则有 $\displaystyle\overline{\int_a^b} f(x) {\rm d}x = \underline{\int_a^b} f(x) {\rm d}x = \int_a^b f(x){\rm d}x$, 这个共同的极限就是函数的黎曼积分, 即如果对于任意的 $\epsilon > 0$, 存在一个分割 $P$ , 使得 $U(f, P) - L(f, P) < \epsilon$, 则说明在极限下, $U(f, P)$ 和 $L(f, P)$ 收敛到相同的值 <div style="text-align: center;"><iframe scrolling="no" title="黎曼积分" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/uj4zjxfv/width/640/height/480/border/888888/sfsb/false/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="640" height="480" style="border:0px;"> </iframe></div>