##### 黑塞矩阵 - 黑塞矩阵 - **黑塞矩阵**是[[实函数|多元函数]]所有[[高阶偏导数|二阶偏导数]]组成的[[矩阵]] $\displaystyle \mathbf {H}_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}$, 并且是[[对称矩阵]], 因为 $\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$, [[特征值和特征向量|特征值]]描述了多元函数的局部曲率, 通常结合其[[定性矩阵|定性]]来判断函数在某一点的极值性质或凹凸性 - 设 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 是一个 $n$ 变量的可二次微分的实值函数, 黑塞矩阵 $H_f$ 是其所有二阶偏导数组成的矩阵 - $\displaystyle H_f = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$ - 黑塞矩阵为正定矩阵, 极小值 - 黑塞矩阵为半正定矩阵, 不确定 - 黑塞矩阵为负定矩阵, 极大值 - 黑塞矩阵为半负定矩阵, 不确定 - 黑塞矩阵为不定矩阵, 鞍点