##### 哥德尔不完备定理 - 哥德尔不完备定理 - 哥德尔不完备定理包括两条核心结论, 由库尔特·哥德尔于1931年提出, 对形式逻辑和数理逻辑产生了深远影响. 定理的背景在于哥德尔对形式系统 (特别是能够包含[[皮亚诺公理]]的系统) 性质的研究 - 哥德尔第一不完备定理指出, 对于任何自洽且足够复杂的形式系统 (如蕴含皮亚诺算术的系统), 总能在系统内部构造一个在系统中既不能被证明为真, 也不能被证明为假的命题. 这表明, 系统内存在 “真而不可证” 的命题, 因此系统无法通过自身的公理和推理规则涵盖所有真命题. 也就是说, 该系统在逻辑上是不完备的 - 哥德尔第二不完备定理建立在第一定理之上, 进一步指出, 对于任何自洽且包含皮亚诺算术的形式系统, 该系统无法证明自身的自洽性. 也就是说, 如果一个系统是自洽的, 它无法在自身内部证明这一点. 因此, 如果想证明该系统的自洽性, 则需要依赖更强或外部的系统 - 哥德尔在他的第一不完备定理中使用了一种[[自指]]的结构, 核心思想是构造一个在系统中无法被证明也无法被否定的命题. 这个命题的关键在于自指, 即实际上是在陈述 “我无法被证明为真”